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3D建模中数学函数的巧妙应用(上) 参考论文
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在创客教育中,3D建模与3D打印是很重要的组成部分。按理说,3D建模与数学是息息相关的,但审视中小学常用的3D建模软件,更多的是在考量鼠标操作的熟练程度,几乎看不出“数学”体现在哪里。因而,我们希望更多的老师教学生用“3D程序员”来建模,力求在“造物”的同时,把数学知识也用起来。

要用“3D程序员”设计出具有圆滑曲线表面的模型,肯定离不开函数的帮忙。函数几乎是所有学生数学学习的痛点,但建模并不关注对函数原理的研究,只要知道什么样的函数能产生什么样的图形即可。按照初等数学和高等数学两部分内容,我们分别例举数学函数在3D建模中的巧妙应用。

初等数学中的函数与应用

初等数学中,学生能够学习到基本的初等函数,如指数函数、对数函数、幂函数、反函数以及三角函数等(如下表)。这些函数用图像来表示,如图1所示。

那么,建立3D模型时可以利用这些函数来实现什么功能呢?下面来看几个例子。

1.用抛物线做笔搁

很多立体图形都可以通过平面图形拉伸而成,如立方体。“3D程序员”中的数学模块,包含了基本的初等函数,图2为一个自变量为x的二次函数图像,图像为抛物线。“3D程序员”给抛物线加上“线宽”的属性,只要用拉伸功能,就能形成一个立体模型。

笔搁是毛笔书法中除文房四宝之外,另一不可或缺的物品。(仔细观察笔搁的构造如下页图3所示)很快就会发现其中的规律:笔搁主要是由曲线组成,而这段曲线又是不规则的,可以通过不同的函数方程拼接出来。

把形状图放入坐标系,再根据坐标系写出曲线方程,如下页图4所示。

根据不同函数的图像特点,拼接出一个所需的图像,函数如下。

f(x)=-x^2+7 x∈[-2.5,0]

g(x)=√(10x+64) x∈[-6.4,-5.3]

h(x)=-(x+3.5)^2 x∈[-5.3,-2.5]

根据函数画出一半图像后,利用“3D程序员”中的“镜像”指令,完成构图(如图5)。在没有给出确定坐标值的情况下,学生想出的数学公式并不是唯一的,寻找合适的数学公式的过程,就是一次有趣的探究。

2.用正弦函数设计“激光剑柄”

《星球大战》作为一部经典电影,一直深受“星战迷”的喜爱。在电影中,用于近身格斗的激光剑也成为《星球大战》的象征,制作一把激光剑是很多创客的选择。除去剑身,最主要的部分當属剑柄,而激光剑柄需要有流线的外形(如图6)。

分析剑柄的曲线部分,其是利用三角函数中的正弦函数曲线特性,减小自变量的值使曲线变得平滑。周期变大,坐标轴显现如图7所示。

公式:f(x)=2.4+sin⁡(0.35x) x∈[2.5π,7π]

输入2D函数,利用其他指令和形状进行拼接组合,再利用“旋转”功能,就可以完成剑柄的制作。在如图8所示的模型中,剑柄还要挖空,用于放入电源及其他电子器件,所以特意开了一个口子,用于安装控制激光剑效果的“按钮”。

3.用“心脏线”做吊坠

“心脏线”是一种比较特殊的函数。心形函数有很多种表达式,利用任何函数图像的特性组合为一个分段函数形成一个心形线,如下页图9所示,最终在“3D程序员”中画出了心形函数的图像。

公式:f(x)=√(1-(|x|-1)^2 ) x∈[-2,2]参考论文

g(x)=arccos⁡(1-|x|)-3 x∈[-2,2]

利用“心脏线”可以做一个心形吊坠,用一个球与拉伸后的“心脏线”进行凸壳处理,即可得到一个心形的实体(如下页图10)。

需要提醒的是,可以先取“心脏线”的一半(只需改变x的取值范围)和球的一半,进行凸壳处理,之后镜像翻转,再进行布尔合并即可。

小结

不管是指数函数、幂函数、对数函数还是三角函数,它们都有一个共同点,就是图像都是曲线,更改变量后会得到无数种图形。同时,根据一个函数图像,也可以得到该图像的无数种表达式。确定和不确定的融合,这就是数学建模的乐趣所在。

函数并不只存在于数学运算中,它时刻与我们相伴。在进行3D建模的过程中,仅仅用肉眼很难画出一条完美的曲线,如果能够合理地利用各类函数的特性进行组合,设计出来的作品就会更加精彩。使用“3D程序员”来设计3D模型,能够将抽象的逻辑与运算真实地呈现在现实世界中,让学生更加深刻地体验到数学之美。

参考资料;http://zimeitichuangzuo.com/index.php?c=show&id=2158
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